Raciocínio Lógico e Matemática

Confesso pra você que a matéria de Raciocínio Lógico eu vim entender estudando Ciência da Computação.

Acontece que tivemos uma matéria chamada Matemática Discreta, que foi basicamente Raciocínio Lógico.

Eu acabei estudando muitos 0 e 1, porque a linguagem básica do computador é binária (ou é 0 ou é 1). A computação usou muito Lógica Proposicional pra conseguir fazer com que um computador executasse alguma operação.

Mas para fins de concurso, o 0 da computação vira F (falso) e o 1 vira V (verdadeiro).

Uma proposição é algo que pode ser analisado com relação ao seu valor de falso ou verdadeiro.

Então o que não é uma proposição?

- Você está bem? : uma pergunta não é uma proposição

- Não olhe o zapzap enquanto estuda! : uma ordem/conselho não é uma proposição

- Quero passar num concurso : um desejo, um sonho não é uma proposição

- Prometo que vou estudar : uma promessa não é uma proposição

Junho é o mês de festa junina no Brasil : isso é uma proposição! E é verdadeira.

No hemisfério sul, dezembro é mês de inverno : isso é uma proposição! E é falsa.

Lula foi presidente do Brasil : isso é uma proposição! E é verdadeira. 

Essas proposições simples recebem um "código", em letra minúscula, e obedecem a ordem alfabética:

p: Junho é o mês de festa junina no Brasil 

q: No hemisfério sul, dezembro é mês de inverno

r: Lula foi presidente do Brasil

Mas Lógica Proposicional é além disso, ela tem regras

( ): os parênteses isolam proposições, que devem ser resolvidas primeiro

^ : e

v : ou

->: se ... então ...

<->: se e somente se

v: ou ... ou ...

Primeiro se resolve o que está em parênteses, depois ^ v -> <->

Frequentemente, não vai fazer sentido nenhum que você resolva uma lógica proposicional por meio das proposições escritas. Sabe por quê?

Na regra do -> , uma proposição composta só é falsa se a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa:

r -> q (V -> F = F)

Se Lula foi presidente do Brasil, então no hemisfério sul, dezembro é mês de inverno.

Mas ela é verdadeira em todas as outras possibilidades:

q -> p (F -> V = V)

Se no hemisfério sul, dezembro é mês de inverno, então junho é o mês de festa junina no Brasil 

r -> p (V -> V = V)

Se Lula foi presidente do Brasil, então no junho é o mês de festa junina no Brasil

q -> q (F -> F = V)

Se no hemisfério sul, dezembro é mês de inverno, então no hemisfério sul, dezembro é mês de inverno.

Só que quando a gente transforma isso pra sentenças escritas, não faz o menor sentido. Isso é o que confunde a cabeça do cristão.

Então primeira dica: toda vez que você for trabalhar com lógica proposicional, TRANSFORME AS PROPOSIÇÕES EM LETRAS MINÚSCULAS!

As proposições obedecem REGRAS! Elas não obedecem normas semânticas (quer dizer que frequentemente não vão fazer sentido)

Esquece agora que p e q se referem àquelas proposições no começo. Vamos fingir que a gente não sabe quais os valores das proposições p e q (se é V ou F)

É assim que a gente sabe a regra:

Essa tabela se chama "Tabela Verdade", pois auxilia a pessoa a entender quando uma proposição composta (= por duas ou mais proposições simples) é verdadeira ou falsa.

Na regra do "e" (^), a proposição composta só é VERDADEIRA quando as duas proposições simples tiverem valores lógicos verdadeiros, então o resto é falso.

Ex.: se p = F e q = V

p ^ q = F

se p=V e q=V

p^q = V

E se p=F e q=F??

p ^q = ?

Na regra do "ou" (v), a proposição composta só é FALSA quando as duas proposições simples tiverem valores lógicos falsos, então o resto é verdadeiro.

Ex.: se p=F e q=V

p v q = V

se p=V e q=F

p v q = V

E se p=F e q=F?

p v q = ?

Na regra do "se ... então ...", a proposição composta só é FALSA quando a 1a proposição simples tiver valor lógico verdadeiro e a segunda falso (no mundo dos concursos, esse caso se chama Vera Fischer: V -> F)

Ex.: se p=F e q=V

p -> q = V

se p=V e q=F

p -> q = F

E se p=F e q=F?

p -> q = ?

Na regra do "se, e somente se" (<->), a proposição composta só é VERDADEIRA quando as duas proposições simples tiverem valores lógicos iguais (V com V é valor lógico igual, assim como F com F).

Ex.: se p=F e q=V

p <-> q = F

se p=V e q=F

p <-> q = F

E se p=F e q=F?

p -> q = ?

Na regra do "ou ... ou..." (v), a proposição composta só é VERDADEIRA quando as duas proposições simples tiverem valores lógicos DIFERENTES! (V com V é valor lógico igual, assim como F com F).

Ex.: se p=F e q=V

p v q = V

se p=V e q=F

p v q = V

E se p=F e q=F?

p v q = ?

MUITA ATENÇÃO PRAS REGRAS! E muito cuidado pra não confundir o "se e somente se" com o "ou ou", eu fazia isso direto. 

Quando você quiser negar uma proposição, basta colocar um ~ na frente.

E acontece uma coisa curiosa!

Digamos que, se, a princípio a proposição p tivesse valor lógico V:

p=V

~p = F

Vou resolver pra você o 1o exercício da lista aqui do final da introdução:

1. Escrever simbolicamente para p: João é esperto ; q: José é tolo:

a) João é esperto e José é tolo.

Observa que temos um caso de "e", e qual o símbolo pra "e"?

p^q

b) João é esperto ou José é tolo.

Um caso de "ou"

p v q

c) Ou João é esperto ou José é tolo.

Um caso de "ou.. ou..."!

p v q

d) Nem João e nem José são tolo.

Dizer que João não é tolo é dizer que ele é esperto. Bom, nós já temos essa proposição em "p"

E se José não é tolo? Seria dizer ~(José é tolo)

Que seria dizer ~q

Já a sentença também pode ser reescrita como João é esperto e José não é tolo

p ^ ~q

e) João e José são tolos.

Vou deixar essa pra você resolver sozinha ;P

f) João é esperto ou José não é tolo

É um caso de "ou"

Como se escreve simbolicamente que José não é tolo?

Você resolve!

g) Não é verdade que João e José são tolos

Vamos dividir essa em duas partes com parênteses:

Não é verdade que (João e José são tolos)

Não é verdade que = negar algo, então vamos substituir por ~

~(João e José são tolos) : o que está entre parênteses é o mesmo caso da letra e

h) Se João é tolo, então José não é tolo.

Temos um caso de "se... então"

João é tolo = negar que João é esperto

José não é tolo = negar que José é tolo

~p -> ~q

Quero que você refaça esses exercícios de cima sem olhar as respostas. Aqui embaixo vai a lista de exercícios, pra gente começar a treinar lógica proposional:

https://drive.google.com/file/d/0B2CdnHvv3nN0d0pTVEdWWVBnNVU/view?usp=sharing